无理数很有趣 ，极为巧妙小数点后的世界上最数学数字永不循环地延续下去，但整个数字总是短的的证小于一个固定值，这就有点难搞了？没有错，论文理性我所说的系列就是π。在这里，尼文三肖三码三期必开一码我们将讨论一个半页纸的关于证明
，证明这个数字π的π无无理性。

伊万-尼文（Ivan Niven）

人类文明知道π以及它与圆的极为巧妙周长和面积的关系已经有几千年了 ，可以追溯到古代巴比伦人，世界上最数学当时最后的短的的证猛犸象已经灭绝了 。然而，论文理性尽管π的系列估值从3到3.12再到3.14等等 ，但π的尼文无理性本质直到1760年才被瑞士学者约翰·海因里希·兰伯特发现并证明 ，后来又被其他著名数学家如埃尔米特、关于卡特莱特
、布尔巴基和拉茨科维奇证明 。

这些证明中 ，伊万·尼文的2024澳门资料大全正版资料免费证明用简单易懂的数学工具及矛盾方法
，将其压缩在半页纸里。让我们来看看。

首先假设π是一个有理数
，可以表示为π=a/b，其中a&b是整数，b≠0。让我们考虑一个函数：

我们可以改变n，从1到任意数n的数，来创建一个多项式F(x)：

现在，香港免费公开一肖一码回到f(x) ，很明显 ，当n!与f(x)相乘时
，分母是1 ，因此对于任何x ，f(x)值都是一个整数。所以 ：

现在，如果你考虑右手边，(a -bx)^n中x的最小幂是0，即a^n ，当它与x^n相乘时，结果中x的最小幂是n，最大是n+n=2n
。

如果对f(x)进行微分，当x=0或(a-bx)=0=>x=a/b=π（如前所述）时 ，结果总是0 ，因为分子中的所有项都有x
。现在，让我们对{ F'(x)sin x - F(x)cos x}对x进行微分 ：

经过一点点简化，我们得到了一个结果
：

我们知道，积分是微分的逆运算，反之亦然 。因此，如果我们对f(x)sin x进行积分，也就是对{ F'(x)sin x - F(x)cos x}进行微分后得到的结果，得到{ F ' (x) sin x - F(x) cos x} 在0到π的范围内的积分：

这里π = a/b
。就像我们之前说过的 ，F(π) + F(0)是一个整数 ，当F(x)微分任意次数时 ，我们得到的结果是x = a/b = π和x = 0
。

但由于f(x)是一个多项式函数 ，对于0

所以积分是正的，但实际上对于一个非常大的n值来说是不成立的，因为常数或上界在更大的n值中趋向于0。

换句话说
，本应该对任何n值都有效的积分在更大的n值时不成立。因此 ，有两个地方可能出了问题 ，要么是在积分过程中出现了错误，要么是π实际上不能写成a/b
。但如果你用多种方法来验证积分过程 ，结果总是一样的，那么只剩下一个选择：π≠a/b，也就是π是无理的。

虽然现在有很多人记住了π后面的很多位小数，但只有少数人知道如何证明它的无理性。虽然有很多证明，但伊万-尼文的证明是最简明的 。如果认为这是理所当然的 ，那就失去了数学所能提供的所有乐趣 。

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